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Limite d’une fonction à l’infini.

vendredi 28 novembre 2008, par ROUGIER E.

On rappelle qu’une fonction f admet pour limite le réel l en +\infty si pour tout intervalle ouvert I contenant l (on peut choisir I=]l-\varepsilon ;l+\varepsilon[ avec \varepsilon>0), alors f(x)\in I pour x « assez grand ».

On considère les fonctions f et g définie sur ]0 ;+\infty[ par

f(x)=\frac{1}{x}\text{ et }g(x)=-\frac{1}{2x+1}.

Soit \varepsilon un réel strictement positif et I=]-\varepsilon ;\varepsilon[.

Par un calcul simple, on peut remarquer que si on pose A_1=\frac{1}{\varepsilon} et A_2=\frac{1-\varepsilon}{2\varepsilon}, on a :

Pour tout réel x>A_1, 0<f(x)<\varepsilon, donc f(x)\in]-\varepsilon&nbsp;;\varepsilon[.

Pour tout réel x>A_2, -\varepsilon<g(x)<0, donc g(x)\in]-\varepsilon&nbsp;;\varepsilon[.

Par définition de la limite d’une fonction en +\infty, on en déduit que :

\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0.

La figure ci-dessous illustre cette propriété des fonctions f et g. On peut modifier la valeur d’epsilon en déplaçant le curseur.


D’après un exercice de l’inspection générale des Mathématiques.

 
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