Pierre-Gilles de Gennes
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La méthode d’Archimède pour approcher Pi

jeudi 5 février 2009, par ROUGIER E.

La proposition 2 du livre XII des Eléments d’Euclide prouve que l’aire d’un disque est proportionnelle au carré du diamètre. Elle repose sur une propriété analogue portant sur les polygones inscrits dans un cercle et précédemment prouvée par Euclide.

Archimède, vers 250 av. J.-C., est le premier à avoir décrit un algorithme pour déterminer un encadrement de \pi, qui n’avait pas encore le statut de nombre. Sa méthode consiste à encadrer la longueur d’un cercle par des périmètres de polygones inscrits et circonscrits à ce cercle. Il obtient, avec des polygones à 96 côtés :

3+\frac{10}{70}<\pi<3+\frac{10}{71}

En son temps, ces calculs ont été faits à la main, sans la notation décimale, sans les notations algébriques actuelles, ni connaissances en trigonométrie, avec la seule géométrie d’Euclide...

Aujourd’hui, la détermination des décimales de \pi ; permet de tester la puissance de calcul des ordinateurs (voici le lien si vous voulez tester le votre ftp://pi.super-computing.org/windows/super_pi.zip, il utilise l’algorithme de Gauss-Legendre utilisé par Yasumasa Kanada en 1995 pour calculer 232 décimales de \pi). Par exemple, vous trouverez ici : http://filebin.ca/nastsa/pi_data.txt les 16 milions premières décimales de \pi. Le dernier record a été obtenu en 2002 par Kanada : 1,241,100,000,000 décimales.

Revenons au problème, la figure dynamique ci-dessous décrit les deux suites de polygones approchant par défaut et par excès le périmètre de \pi.

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Ils ont chacun 3\times 2^n côtés (avec n entier naturel).

On peut montrer assez facilement que le demi-perimètre i_n du polygone inscrit et le demi-périmètre e_n du polygone exinscrit vérifie pour tout entier naturel n les relations suivantes :

i_n=3\times 2^n\times \sin\left(\frac{\pi}{3\times 2^n}\right) et e_n=3\times 2^n\times \tan\left(\frac{\pi}{3\times 2^n}\right)

Il est un peu plus difficile de montrer que ces deux suites numériques sont adjacentes (voir le cours de terminale S) et qu’elles converges vers \pi. De plus, elles vérifient les relations de récurrence suivantes :

i_0=\frac{3\sqrt{3}}{2}, e_0=3\sqrt{3} et pour tout entier naturel n,

e_{n+1}=\frac{2e_ni_n}{e_n+i_n} et i_{n+1}=\sqrt{i_n\times e_{n+1}

Vous pouver alors (DM de terminale), à l’aide d’un tableur obtenir un encadrement de \pi d’amplitude 10^{-10}.

 
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